• Épreuve de mathématiques

    Question : 1

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \cos n\pi = \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \cos n\pi = \)

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    Question : 2

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} = \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} = \)

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    Question : 3

    Soit \({v_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{e^k}}}{{{\pi ^{k - 1}}}}} \) ; alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \)

    Question text

    Soit \({v_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{e^k}}}{{{\pi ^{k - 1}}}}} \) ; alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \)

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    Question : 4

    On considère un carré \({C_0}\) dont les côtés sont de 12 cm. Soit \({C_1}\) le carré inscrit dans \({C_0}\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \({C_0}\). Nous procédons de la même manière et nous formons une famille infinie de carrés \(({C_i})\) tel que \({C_{i + 1}}\)est le carré inscrit dans \({C_i}\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \({C_i}\). La somme totale des périmètres des carrés \({C_i}\)est égale à

    Question text

    On considère un carré \({C_0}\) dont les côtés sont de 12 cm. Soit \({C_1}\) le carré inscrit dans \({C_0}\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \({C_0}\). Nous procédons de la même manière et nous formons une famille infinie de carrés \(({C_i})\) tel que \({C_{i + 1}}\)est le carré inscrit dans \({C_i}\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \({C_i}\). La somme totale des périmètres des carrés \({C_i}\)est égale à

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    Question : 5

    Soit \({S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k(k + 1)}}} \,\,\,\,\) ; alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \)

    Question text

    Soit \({S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k(k + 1)}}} \,\,\,\,\) ; alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \)

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    Question : 6

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 5x}}{{\sin 3x}} = \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 5x}}{{\sin 3x}} = \)

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    Question : 7

    \(\int {\frac{{1 + t{g^2}x}}{{4 + t{g^2}x}}} dx\)

    Question text

    \(\int {\frac{{1 + t{g^2}x}}{{4 + t{g^2}x}}} dx\)

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    Question : 8

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (arctgx)(\cot g5x)\)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (arctgx)(\cot g5x)\)

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    Question : 9

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(\cos x)^{{x^{\frac{1}{5}}}}} = \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(\cos x)^{{x^{\frac{1}{5}}}}} = \)

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    Question : 10

    \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_{\sqrt 3 }^{\sqrt 3 + h} {\frac{1}{{arctgx}}dx = } \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_{\sqrt 3 }^{\sqrt 3 + h} {\frac{1}{{arctgx}}dx = } \)

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    Question : 11

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg\sqrt {\pi x} }}{{\sin \pi x}} = \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg\sqrt {\pi x} }}{{\sin \pi x}} = \)

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    Question : 12

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{arctg2x}}{x} = \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{arctg2x}}{x} = \)

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    Question : 13

    \(\int {\sqrt x } \ln x\,dx = \)

    Question text

    \(\int {\sqrt x } \ln x\,dx = \)

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    Question : 14

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\int_{\sqrt e }^n {\frac{1}{{x{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}dx} } \right) = \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\int_{\sqrt e }^n {\frac{1}{{x{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}dx} } \right) = \)

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    Question : 15

    Soit \(f(x) = \int_{1 + x}^{1 + {x^2}} {{e^{ - \sqrt t }}dt} \) , alors la tangente à la courbe de \(f\) en \(x = 1\) admet pour équation

    Question text

    Soit \(f(x) = \int_{1 + x}^{1 + {x^2}} {{e^{ - \sqrt t }}dt} \) , alors la tangente à la courbe de \(f\) en \(x = 1\) admet pour équation

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    Question : 16

    Soit \({({u_n})_n}\) une suite numérique. On considère les assertions suivantes : \(\left( {L \ne 0} \right)\) (I) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = L \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) (II) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right| \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = L\) (III) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_n}} \right| = 0\) Alors

    Question text

    Soit \({({u_n})_n}\) une suite numérique. On considère les assertions suivantes : \(\left( {L \ne 0} \right)\) (I) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = L \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) (II) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right| \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = L\) (III) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_n}} \right| = 0\) Alors

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    Question : 17

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {{( - 1)}^n}\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} }} = \)

    Question text

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {{( - 1)}^n}\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} }} = \)

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    Question : 18

    18) Soit \(B = \left\{ {u,v,w} \right\}\) une base de \(({\mathbb{R}^3}, + , \cdot )\) On considère les familles suivantes \({S_1} = \left\{ {v + w,u + w,u + v} \right\}\) \({S_2} = \left\{ {u + v,u + w,w + v} \right\}\) \({S_3} = \left\{ {u,w,u - v} \right\}\) Alors laquelle (ou lesquelles) des familles forme une base ?

    Question text

    18) Soit \(B = \left\{ {u,v,w} \right\}\) une base de \(({\mathbb{R}^3}, + , \cdot )\) On considère les familles suivantes \({S_1} = \left\{ {v + w,u + w,u + v} \right\}\) \({S_2} = \left\{ {u + v,u + w,w + v} \right\}\) \({S_3} = \left\{ {u,w,u - v} \right\}\) Alors laquelle (ou lesquelles) des familles forme une base ?

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    Question : 19

    19) Soit \(E = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x = z} \right\}\) Lequel des systèmes suivants forme une base pour E ?

    Question text

    19) Soit \(E = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x = z} \right\}\) Lequel des systèmes suivants forme une base pour E ?

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    Question : 20

    20) On considère les ensembles suivants \(E = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 1} \right\}\) \(F = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/{x^2} = {y^2}} \right\}\) \(G = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/xy + z = 0} \right\}\) \(H = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/x + z = 0\,\,et\,\,y = 1} \right\}\) Lesquels parmi ces ensembles sont des sous espaces vectoriels de \({\mathbb{R}^3}\) ?

    Question text

    20) On considère les ensembles suivants \(E = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 1} \right\}\) \(F = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/{x^2} = {y^2}} \right\}\) \(G = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/xy + z = 0} \right\}\) \(H = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/x + z = 0\,\,et\,\,y = 1} \right\}\) Lesquels parmi ces ensembles sont des sous espaces vectoriels de \({\mathbb{R}^3}\) ?

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    Question : 21

    Soit A une matrice carrés d’ordre n vérifiant \({A^2} - 3A + 2{I_n} = 0\) (\({I_n}\) est la matrice identité) On considère les égalités suivantes (I) \({A^{ - 1}} = {I_n} - A\) (II) \({A^{ - 1}} = \frac{1}{2}(3{I_n} - A)\) (III) \[\det A = 0\] (IV) \(\det A \ne 0\) Alors

    Question text

    Soit A une matrice carrés d’ordre n vérifiant \({A^2} - 3A + 2{I_n} = 0\) (\({I_n}\) est la matrice identité) On considère les égalités suivantes (I) \({A^{ - 1}} = {I_n} - A\) (II) \({A^{ - 1}} = \frac{1}{2}(3{I_n} - A)\) (III) \[\det A = 0\] (IV) \(\det A \ne 0\) Alors

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    Question : 22

    Soit \(({M_n}(\mathbb{R}), + , \cdot )\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n. Alors \(\dim (\mathbb{R}) = \)

    Question text

    Soit \(({M_n}(\mathbb{R}), + , \cdot )\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n. Alors \(\dim (\mathbb{R}) = \)

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    Question : 23

    \(\int_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{dt}}{{4{t^2} + 4t + 5}}}  = \)

    Question text

    \(\int_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{dt}}{{4{t^2} + 4t + 5}}}  = \)

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    Question : 24

    Si \(\int_0^x {g(t)dt = xtg\pi x} \) alors \(g(\frac{1}{4}) = \)

    Question text

    Si \(\int_0^x {g(t)dt = xtg\pi x} \) alors \(g(\frac{1}{4}) = \)

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    Question : 25

    Soit \(f\) une fonction continue sur \(\left[ {a,b} \right]\) telle que \(f(a + b - x) = f(x)\,\,.\,\forall x \in \left[ {a,b} \right]\) Alors \(\int_a^b {xf(x)dx = } \)

    Question text

    Soit \(f\) une fonction continue sur \(\left[ {a,b} \right]\) telle que \(f(a + b - x) = f(x)\,\,.\,\forall x \in \left[ {a,b} \right]\) Alors \(\int_a^b {xf(x)dx = } \)

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