•  Épreuve de mathématiques

Question : 1

Soit L une liste d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est -22 et le dernier terme est noté par x. Si la somme de tous les éléments de L est égale à 72 alors x =

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Soit L une liste d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est -22 et le dernier terme est noté par x. Si la somme de tous les éléments de L est égale à 72 alors x =

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Question : 2

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{( - 1)}^n}{e^n}}}{{{\pi ^{n + 1}}}} =$$

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$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{( - 1)}^n}{e^n}}}{{{\pi ^{n + 1}}}} =$$

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Question : 3

Soit $${X_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{2^k}}}{{{e^{k + 1}}}}}$$ ; alors $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {X_n} =$$

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Soit $${X_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{2^k}}}{{{e^{k + 1}}}}}$$ ; alors $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {X_n} =$$

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Question : 4

On considère un carré $${C_0}$$ dont les côtés mesurant a cm. Soit $${C_1}$$ le carré inscrit dans $${C_0}$$ dont les sommets sont les milieux des côtés de $${C_0}$$. Nous procédons de la même manière et nous formons une famille infinie de carrés $$\left( {{C_i}} \right)$$ tel que $${C_{i + 1}}$$ est le carré inscrit dans $${C_i}$$ dont les sommets sont les milieux des côtés de $${C_{i.}}$$ La somme totale des périmètres des carrés $${{\bf{C}}_{\bf{i}}}$$ est égale à

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On considère un carré $${C_0}$$ dont les côtés mesurant a cm. Soit $${C_1}$$ le carré inscrit dans $${C_0}$$ dont les sommets sont les milieux des côtés de $${C_0}$$. Nous procédons de la même manière et nous formons une famille infinie de carrés $$\left( {{C_i}} \right)$$ tel que $${C_{i + 1}}$$ est le carré inscrit dans $${C_i}$$ dont les sommets sont les milieux des côtés de $${C_{i.}}$$ La somme totale des périmètres des carrés $${{\bf{C}}_{\bf{i}}}$$ est égale à

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Question : 5

Soit $${w_n} = \sum\limits_{p = 2}^n {\frac{1}{{{p^2} - 1}}}$$ ; alors $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {w_n} =$$

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Soit $${w_n} = \sum\limits_{p = 2}^n {\frac{1}{{{p^2} - 1}}}$$ ; alors $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {w_n} =$$

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Question : 6

Soit $${({u_n})_{n \ge 0}}$$ une suite numérique à termes strictement positifs $$({u_n} > 0)$$ vérifiant , $$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \le k,\forall n \in \mathbb{N}$$ avec k est une constante strictement inférieure à 1. (k<1). On définit la suite $${({V_n})_{n \ge 0}}$$ définie par$${V_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{u_k}}$$. On considère les assertions suivantes: (I) $${({u_n})_n}$$ est bornée (II) $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = 0$$ (III)$${({V_n})_n}$$ est convergente Laquelle ( lesquelles) des assertions est ( sont vraies) ?

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Soit $${({u_n})_{n \ge 0}}$$ une suite numérique à termes strictement positifs $$({u_n} > 0)$$ vérifiant , $$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \le k,\forall n \in \mathbb{N}$$ avec k est une constante strictement inférieure à 1. (k<1). On définit la suite $${({V_n})_{n \ge 0}}$$ définie par$${V_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{u_k}}$$. On considère les assertions suivantes: (I) $${({u_n})_n}$$ est bornée (II) $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = 0$$ (III)$${({V_n})_n}$$ est convergente Laquelle ( lesquelles) des assertions est ( sont vraies) ?

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Question : 7

$$\int_0^{\pi /3} {\frac{1}{{(9 + t{g^2}x){{\cos }^2}x}}} dx$$

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$$\int_0^{\pi /3} {\frac{1}{{(9 + t{g^2}x){{\cos }^2}x}}} dx$$

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Question : 8

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{arctg\pi x}}{x} =$$

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$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{arctg\pi x}}{x} =$$

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Question : 9

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}3x}}{{3{x^2}}} =$$

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$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}3x}}{{3{x^2}}} =$$

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Question : 10

$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_{\pi /4}^{\pi /4 + h} {\frac{1}{{tgx}}} dx =$$

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$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_{\pi /4}^{\pi /4 + h} {\frac{1}{{tgx}}} dx =$$

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Question : 11

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \sqrt \pi x}}{{1 - \cos \pi x}} =$$

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$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \sqrt \pi x}}{{1 - \cos \pi x}} =$$

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Question : 12

$$\int_{ - 2}^0 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 6x + 12}}}$$

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$$\int_{ - 2}^0 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 6x + 12}}}$$

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Question : 13

La surface formée par la courbe de $$f(x) = \frac{1}{{x(1 + \ln x)}}$$ et par les droites $$x = 1$$ et $$x = {e^2}$$ est égale à

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La surface formée par la courbe de $$f(x) = \frac{1}{{x(1 + \ln x)}}$$ et par les droites $$x = 1$$ et $$x = {e^2}$$ est égale à

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Question : 14

Soit $${({U_n})_{n \ge 3}}$$ la suite définie par $${U_n} = \int_e^n {\frac{1}{{x{{(\ln x)}^3}}}} dx$$ Alors $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {U_n} =$$

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Soit $${({U_n})_{n \ge 3}}$$ la suite définie par $${U_n} = \int_e^n {\frac{1}{{x{{(\ln x)}^3}}}} dx$$ Alors $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {U_n} =$$

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Question : 15

Soit $$g(x) = \int_{\sqrt x }^{{x^2}} {{e^{{u^2}}}du}$$ , alors la tangente à la courbe de en $$x = 1$$ admet pour équation

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Soit $$g(x) = \int_{\sqrt x }^{{x^2}} {{e^{{u^2}}}du}$$ , alors la tangente à la courbe de en $$x = 1$$ admet pour équation

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Question : 16

$$\int {\frac{{tg\sqrt x }}{{\sqrt x }}} dx =$$

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$$\int {\frac{{tg\sqrt x }}{{\sqrt x }}} dx =$$

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Question : 17

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{n}{{3n - 1}}} \right)^{2n - 1}} =$$

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$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{n}{{3n - 1}}} \right)^{2n - 1}} =$$

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Question : 18

Soit $$B = \left\{ {i,j,k} \right\}$$ une base de $$({\mathbb{R}^3}, + , \cdot )$$ . On considère les familles suivantes : $$E = \left\{ {i + j,i + k,j + k} \right\}$$ $$N = \left\{ {i,j + k,i + j + k} \right\}$$ $$S = \left\{ {i,2j,3k} \right\}$$ $$A = \left\{ {i,2j - k,j} \right\}$$ Alors laquelle ( ou lesquelles ) des familles forme une base ?

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Soit $$B = \left\{ {i,j,k} \right\}$$ une base de $$({\mathbb{R}^3}, + , \cdot )$$ . On considère les familles suivantes : $$E = \left\{ {i + j,i + k,j + k} \right\}$$ $$N = \left\{ {i,j + k,i + j + k} \right\}$$ $$S = \left\{ {i,2j,3k} \right\}$$ $$A = \left\{ {i,2j - k,j} \right\}$$ Alors laquelle ( ou lesquelles ) des familles forme une base ?

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Question : 19

Soit $$S = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + 2y - z = 0} \right\}$$ Lequel des systèmes suivants forme une base pour E ?

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Soit $$S = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + 2y - z = 0} \right\}$$ Lequel des systèmes suivants forme une base pour E ?

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Question : 20

On considère les ensembles suivants $$E = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/y = 0} \right\}$$ $$N = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 1} \right\}$$ $$S = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/z = 2} \right\}$$ $$A = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 0} \right\}$$ Lesquels parmi ces ensembles sont des sous espaces vectoriels de $${\mathbb{R}^3}$$ ?

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On considère les ensembles suivants $$E = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/y = 0} \right\}$$ $$N = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 1} \right\}$$ $$S = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/z = 2} \right\}$$ $$A = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 0} \right\}$$ Lesquels parmi ces ensembles sont des sous espaces vectoriels de $${\mathbb{R}^3}$$ ?

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Question : 21

Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant $${A^2} = A + 3{I_n}$$ (In est la matrice identité) On considère les égalités suivantes $$(I)\det A = 0$$ $$(II){A^{ - 1}} = 3{I_n} - A$$ $$(III)\det A \ne 0$$ $$(IV){A^{ - 1}} = \frac{1}{3}(A - {I_n})$$ Alors

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Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant $${A^2} = A + 3{I_n}$$ (In est la matrice identité) On considère les égalités suivantes $$(I)\det A = 0$$ $$(II){A^{ - 1}} = 3{I_n} - A$$ $$(III)\det A \ne 0$$ $$(IV){A^{ - 1}} = \frac{1}{3}(A - {I_n})$$ Alors

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Question : 22

Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant $${A^2} - A - {I_n} = {0_n}$$ (In est la matrice identité et 0n est la matrice nulle ) Alors $$\det (A - {I_n}) =$$

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Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant $${A^2} - A - {I_n} = {0_n}$$ (In est la matrice identité et 0n est la matrice nulle ) Alors $$\det (A - {I_n}) =$$

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Question : 23

Soit $$A = {({a_{ij}})_{i \le 1,j \le n}}$$ une matrice carrée d'ordre n. On appelle la Trace de A notée par Tr(A) le nombre $$Tr(A) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}}$$ Alors Tr(A+In)

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Soit $$A = {({a_{ij}})_{i \le 1,j \le n}}$$ une matrice carrée d'ordre n. On appelle la Trace de A notée par Tr(A) le nombre $$Tr(A) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}}$$ Alors Tr(A+In)

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Question : 24

Si $$\int_0^x {h(t)dt = x\ln (1 + {x^2}} )$$ alors $$h(1) =$$

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Si $$\int_0^x {h(t)dt = x\ln (1 + {x^2}} )$$ alors $$h(1) =$$

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Question : 25

$$\int {\sin (\ln x)dx = }$$

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$$\int {\sin (\ln x)dx = }$$

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