• Épreuve de mathématiques

    Question : 1

    Soit L une liste d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est -22 et le dernier terme est noté par x. Si la somme de tous les éléments de L est égale à 72 alors x =

    Texte de la question

    Soit L une liste d’entiers relatifs consécutifs dont le premier terme est -22 et le dernier terme est noté par x. Si la somme de tous les éléments de L est égale à 72 alors x =

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    Question : 2

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{( - 1)}^n}{e^n}}}{{{\pi ^{n + 1}}}} = \)

    Texte de la question

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{( - 1)}^n}{e^n}}}{{{\pi ^{n + 1}}}} = \)

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    Question : 3

    Soit \({X_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{2^k}}}{{{e^{k + 1}}}}} \) ; alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {X_n} = \)

    Texte de la question

    Soit \({X_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{2^k}}}{{{e^{k + 1}}}}} \) ; alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {X_n} = \)

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    Question : 4

    On considère un carré \({C_0}\) dont les côtés mesurant a cm. Soit \({C_1}\) le carré inscrit dans \({C_0}\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \({C_0}\). Nous procédons de la même manière et nous formons une famille infinie de carrés \(\left( {{C_i}} \right)\) tel que \({C_{i + 1}}\) est le carré inscrit dans \({C_i}\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \({C_{i.}}\) La somme totale des périmètres des carrés \({{\bf{C}}_{\bf{i}}}\) est égale à

    Texte de la question

    On considère un carré \({C_0}\) dont les côtés mesurant a cm. Soit \({C_1}\) le carré inscrit dans \({C_0}\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \({C_0}\). Nous procédons de la même manière et nous formons une famille infinie de carrés \(\left( {{C_i}} \right)\) tel que \({C_{i + 1}}\) est le carré inscrit dans \({C_i}\) dont les sommets sont les milieux des côtés de \({C_{i.}}\) La somme totale des périmètres des carrés \({{\bf{C}}_{\bf{i}}}\) est égale à

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    Question : 5

    Soit \({w_n} = \sum\limits_{p = 2}^n {\frac{1}{{{p^2} - 1}}} \) ; alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {w_n} = \)

    Texte de la question

    Soit \({w_n} = \sum\limits_{p = 2}^n {\frac{1}{{{p^2} - 1}}} \) ; alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {w_n} = \)

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    Question : 6

    Soit \({({u_n})_{n \ge 0}}\) une suite numérique à termes strictement positifs \(({u_n} > 0)\) vérifiant , \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \le k,\forall n \in \mathbb{N}\) avec k est une constante strictement inférieure à 1. (k<1). On définit la suite \({({V_n})_{n \ge 0}}\) définie par\({V_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{u_k}} \). On considère les assertions suivantes: (I) \({({u_n})_n}\) est bornée (II) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = 0\) (III)\({({V_n})_n}\) est convergente Laquelle ( lesquelles) des assertions est ( sont vraies) ?

    Texte de la question

    Soit \({({u_n})_{n \ge 0}}\) une suite numérique à termes strictement positifs \(({u_n} > 0)\) vérifiant , \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \le k,\forall n \in \mathbb{N}\) avec k est une constante strictement inférieure à 1. (k<1). On définit la suite \({({V_n})_{n \ge 0}}\) définie par\({V_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{u_k}} \). On considère les assertions suivantes: (I) \({({u_n})_n}\) est bornée (II) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = 0\) (III)\({({V_n})_n}\) est convergente Laquelle ( lesquelles) des assertions est ( sont vraies) ?

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    Question : 7

    \(\int_0^{\pi /3} {\frac{1}{{(9 + t{g^2}x){{\cos }^2}x}}} dx\)

    Texte de la question

    \(\int_0^{\pi /3} {\frac{1}{{(9 + t{g^2}x){{\cos }^2}x}}} dx\)

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    Question : 8

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{arctg\pi x}}{x} = \)

    Texte de la question

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{arctg\pi x}}{x} = \)

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    Question : 9

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}3x}}{{3{x^2}}} = \)

    Texte de la question

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}3x}}{{3{x^2}}} = \)

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    Question : 10

    \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_{\pi /4}^{\pi /4 + h} {\frac{1}{{tgx}}} dx = \)

    Texte de la question

    \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_{\pi /4}^{\pi /4 + h} {\frac{1}{{tgx}}} dx = \)

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    Question : 11

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \sqrt \pi x}}{{1 - \cos \pi x}} = \)

    Texte de la question

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \sqrt \pi x}}{{1 - \cos \pi x}} = \)

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    Question : 12

    \(\int_{ - 2}^0 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 6x + 12}}} \)

    Texte de la question

    \(\int_{ - 2}^0 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 6x + 12}}} \)

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    Question : 13

    La surface formée par la courbe de \(f(x) = \frac{1}{{x(1 + \ln x)}}\) et par les droites \(x = 1\) et \(x = {e^2}\) est égale à

    Texte de la question

    La surface formée par la courbe de \(f(x) = \frac{1}{{x(1 + \ln x)}}\) et par les droites \(x = 1\) et \(x = {e^2}\) est égale à

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    Question : 14

    Soit \({({U_n})_{n \ge 3}}\) la suite définie par \({U_n} = \int_e^n {\frac{1}{{x{{(\ln x)}^3}}}} dx\) Alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {U_n} = \)

    Texte de la question

    Soit \({({U_n})_{n \ge 3}}\) la suite définie par \({U_n} = \int_e^n {\frac{1}{{x{{(\ln x)}^3}}}} dx\) Alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {U_n} = \)

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    Question : 15

    Soit \(g(x) = \int_{\sqrt x }^{{x^2}} {{e^{{u^2}}}du} \) , alors la tangente à la courbe de en \(x = 1\) admet pour équation

    Texte de la question

    Soit \(g(x) = \int_{\sqrt x }^{{x^2}} {{e^{{u^2}}}du} \) , alors la tangente à la courbe de en \(x = 1\) admet pour équation

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    Question : 16

    \(\int {\frac{{tg\sqrt x }}{{\sqrt x }}} dx = \)

    Texte de la question

    \(\int {\frac{{tg\sqrt x }}{{\sqrt x }}} dx = \)

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    Question : 17

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{n}{{3n - 1}}} \right)^{2n - 1}} = \)

    Texte de la question

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{n}{{3n - 1}}} \right)^{2n - 1}} = \)

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    Question : 18

    Soit \(B = \left\{ {i,j,k} \right\}\) une base de \(({\mathbb{R}^3}, + , \cdot )\) . On considère les familles suivantes : \(E = \left\{ {i + j,i + k,j + k} \right\}\) \(N = \left\{ {i,j + k,i + j + k} \right\}\) \(S = \left\{ {i,2j,3k} \right\}\) \(A = \left\{ {i,2j - k,j} \right\}\) Alors laquelle ( ou lesquelles ) des familles forme une base ?

    Texte de la question

    Soit \(B = \left\{ {i,j,k} \right\}\) une base de \(({\mathbb{R}^3}, + , \cdot )\) . On considère les familles suivantes : \(E = \left\{ {i + j,i + k,j + k} \right\}\) \(N = \left\{ {i,j + k,i + j + k} \right\}\) \(S = \left\{ {i,2j,3k} \right\}\) \(A = \left\{ {i,2j - k,j} \right\}\) Alors laquelle ( ou lesquelles ) des familles forme une base ?

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    Question : 19

    Soit \(S = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + 2y - z = 0} \right\}\) Lequel des systèmes suivants forme une base pour E ?

    Texte de la question

    Soit \(S = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + 2y - z = 0} \right\}\) Lequel des systèmes suivants forme une base pour E ?

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    Question : 20

    On considère les ensembles suivants \(E = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/y = 0} \right\}\) \(N = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 1} \right\}\) \(S = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/z = 2} \right\}\) \(A = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 0} \right\}\) Lesquels parmi ces ensembles sont des sous espaces vectoriels de \({\mathbb{R}^3}\) ?

    Texte de la question

    On considère les ensembles suivants \(E = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/y = 0} \right\}\) \(N = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 1} \right\}\) \(S = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/z = 2} \right\}\) \(A = \left\{ {(x,y,z) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + z = 0} \right\}\) Lesquels parmi ces ensembles sont des sous espaces vectoriels de \({\mathbb{R}^3}\) ?

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    Question : 21

    Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant \({A^2} = A + 3{I_n}\) (In est la matrice identité) On considère les égalités suivantes \((I)\det A = 0\) \((II){A^{ - 1}} = 3{I_n} - A\) \((III)\det A \ne 0\) \((IV){A^{ - 1}} = \frac{1}{3}(A - {I_n})\) Alors

    Texte de la question

    Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant \({A^2} = A + 3{I_n}\) (In est la matrice identité) On considère les égalités suivantes \((I)\det A = 0\) \((II){A^{ - 1}} = 3{I_n} - A\) \((III)\det A \ne 0\) \((IV){A^{ - 1}} = \frac{1}{3}(A - {I_n})\) Alors

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    Question : 22

    Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant \({A^2} - A - {I_n} = {0_n}\) (In est la matrice identité et 0n est la matrice nulle ) Alors \(\det (A - {I_n}) = \)

    Texte de la question

    Soit A une matrice carrée d'ordre n vérifiant \({A^2} - A - {I_n} = {0_n}\) (In est la matrice identité et 0n est la matrice nulle ) Alors \(\det (A - {I_n}) = \)

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    Question : 23

    Soit \(A = {({a_{ij}})_{i \le 1,j \le n}}\) une matrice carrée d'ordre n. On appelle la Trace de A notée par Tr(A) le nombre \(Tr(A) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}} \) Alors Tr(A+In)

    Texte de la question

    Soit \(A = {({a_{ij}})_{i \le 1,j \le n}}\) une matrice carrée d'ordre n. On appelle la Trace de A notée par Tr(A) le nombre \(Tr(A) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}} \) Alors Tr(A+In)

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    Question : 24

    Si \(\int_0^x {h(t)dt = x\ln (1 + {x^2}} )\) alors \(h(1) = \)

    Texte de la question

    Si \(\int_0^x {h(t)dt = x\ln (1 + {x^2}} )\) alors \(h(1) = \)

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    Question : 25

    \(\int {\sin (\ln x)dx = } \)

    Texte de la question

    \(\int {\sin (\ln x)dx = } \)

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